facebook

Pages

Minggu, 20 November 2011

TRANSFORMASI GEOMETRI

1. Pengertian Transformasi
Transformasi T dibidang adalah suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama.
Jenis-jenis transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

  1. Translasi (Pergeseran)
  2. Refleksi (Pencerminan)
  3. Rotasi (Perputaran)
  4. Dilatasi (Perkalian)
----> Translasi (pergeseran) :
Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak danarah tertentu. Jarak dan arah suatu transalasi dapat dilambangkan dengan gari berarah misalnya atau vektor .
dalam definisi lain juga dikatakan sbb: ranslasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
jika translasi memetakan titik P (x, y) ke titik P’(x’, y’) maka x’ = x + a dan y’ = y + b atay P’ (x + a, y + b ) ditulis dalam bentuk :

Contoh : Tentukan koordinat bayangan titik A (-3, 4) oleh translasi
Jawab :
Jawab :

A’ = ( -3 + 3, 4 + 6)

A’ = (0, 10)
----> Refleksi (Pencerminan)
a. Pencerminan terhadap sumbu x

Matriks percerminan :

b. Pencerminan Terhadap sumbu y

Matriks Pencerminan:

c. Pencerminan terhadap garis y = x

Matriks Pencerminan

d. Pencerminan terhadap garis y = -x
Matriks Pencerminan:
e. Pencerminan terhadap garis x = h
Matriks Pencerminan:
Sehingga:

f. Pencerminan terhadap garis y=k
Matriks Pencerminan :
Sehingga:


g. Pencerminan terhadap titik asal O (0, 0)
Matriks Pencerminan :
Sehingga:

h. Pencerminan terhadap garis y = mx dimana m = tan q
Contoh :
Tentukan bayangan persamaan garis y = 2x – 5 oleh translasi
Jawab :
Ambil sembarang titik pada garis y = 2x – 5, misalnya (x, y) dan titik bayangan oleh translasi adalah (x’, y’) sehingga ditulis
Atau
x’ = x + 3 x = x’- 3 ..... (1)
y’ = y – 2 y = y’ + 2 ......(2)
Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan pada persamaan garis semula, sehingga :
y = 2x – 5
y’ + 2 = 2 (x’- 3) – 5
y’ = 2x’ – 6 – 5 – 2
y’ = 2x’ – 13
Jadi persamaan garis bayangan y = 2x – 5 oleh translasi adalah y = 2x – 13 .
Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1
SIFAT-SIFAT
1. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
2. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
* Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
* Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
3. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
4. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
* Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
* Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
* Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.
---->Rotasi(perputaran)
Definisi

    Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang memindahkan suatu titik ke titik lain dengan perputaran terhadap titik pusat tertentu
    Rotasi ditentukan oleh pusat rotasi, besar sudut rotasi, dan arah rotasi (searah atau berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.
Rotasi Terhadap O (0,0) sebesar θ
    Jika titik P(x,y) dirotasikan dengan pusat O (0,0) sebesar θ berlawanan arah perputaran jarum jam, bayangannya adalah P’(x’,y’), dengan;
    • X’ = x cos θ – y sin θ
    • Y’ = x sin θ + y cos θ
Contoh :
Tentukan bayangan garis y = -3x + 5 karena rotasi yang berpusat di O(0,0) sebesar ∏/2
    Solusi :
Diketahui persamaan garis y =-3x + 5. Ambil dua titik pada gambar misalkan P(0,5) dan Q(2,-1). Bayangan rotasi titik P dan Q :
P(0,5) P’(0.cos ∏/2 – 5 sin ∏/2,0.sin ∏/2+5.cos ∏/2)=P’(-5,0)
Q(2,-1) Q’(2.cos ∏/2-(-1)sin ∏/2,2.sin ∏/2-1.cos ∏/2)= Q’(1,2)
3y = x+5
3y – x – 5 = 0
Jadi bayangan garis y = -3x + 5 karena rotasi yang berpusat di O(0,0) sebesar ∏/2 adalah 3y – x – 5 = 0
Persamaan garis yang melalui P’ dan Q’:
Rotasi Terhadap Pusat A (a,b) sebesar θ
    Jika titik P(x,y) dirotasikan dengan pusat A (a,b) sebesar θ berlawanan arah perputaran jarum jam (θ positif), bayangannya adalah P’(x’,y’), dengan;
    • X’ - a= (x-a) cos θ - (y-b) sin θ
    • Y’ - b= (x-a) sin θ + (y-b) cos θ
Contoh:
Tentukan bayangan titik(6,4) karena rotasi yang berpusat di titik A(2,1) sebesar ∏/2
    Solusi:
    Misal bayangannya adalah titik P’(x’,y’),maka
    X’ – 2 = (6 – 2) cos(- ∏/2)- (4 – 1) sin (-∏/2)
    X’ – 2 = 3
    x’ = 5
    Y’ – 1 = -4
    y’ = -3
Jadi, bayangan titik (6,4) karena rotasi sebesar - ∏/2 berpusat di titik A(2,1) adalah (5,-3)
Matriks yang Bersesuaian Dengan Rotasi
cos θ
-sin θ
sin θ
cos θ
Matriks yang bersesuaian
Dengan rotasi adalah
Matriks yang Bersesuaian Dengan Rotasi
Persamaan matriks yang bersesuaian
Dengan rotasi yang berpusat di titik O adalah
x’
y’
cosθ -sin θ
sin θ cos θ
x
y
    Persamaan matriks yang bersesuaian
    Dengan rotasi yang berpusat di titik A adalah
x’
y’
cosθ -sin θ
sin θ cos θ
x - a
y - b
a
b
Matriks yang Bersesuaian Dengan Rotasi
Matriks yang Bersesuaian Dengan Rotasi
Persamaan matriks yg bersesuaian dgn rotasi yg berpusat d titik 0 sebesar
cosθ -sin
sin θ cos
0 - 1
1 - 0
Contoh:
Tentukan bayangan titik(-3,5) karena rotasi yang berpusat di O sebesar ∏/2
Solusi:
Matriks yang bersesuaian dengan rotasi di pusat O sebesar ∏/2 adalah
    Jika bayangan titik (x,y) adalah (x’,y’) maka


Jadi, bayangan titik (-3,5) karena rotasi di pusat O sebesar ∏/2 adalah (-5,-3).
Matriks yang Bersesuaian Dengan Rotasi
Persamaan matriks yg bersesuaian dgn rotasi yg berpusat d titik 0 sebesar
cos -sin
sin cos
0 - 1
1 - 0
Contoh:
Tentukan bayangan garis 2x – y + 10 = 0 karena rotasi yang erpusat di (-2,4) sebesar - ∏/2.
Solusi:
Jika titik (x’,y’) adalah bayangan titik(x,y) pada garis 2x-y+10=0 karena rotasi tersebut,maka



    X’ = y – 4 – 2 y =x’ + 6
    dan y’ = -x – 2 + 4 x = -y’ + 2
    Karena titik (x,y) memenuhi persamaan 2x – y+ 10 = 0, maka diperoleh
    2(-y’ + 2) – (x’+6)+10 = 0
    -2y’ + 4 – x’ – 6 + 10 =0
    X’ – 2y’ + b = 0 atau x’ + 2y’ – 8 = 0
Sehingga setiap (x’,y’) pada bayagan memenuhi persamaan
    x’+2y’-8=0
Dengan demikian, setiap titik(x,y) pada bayangan memenuhi persamaan x+2y-8=0
Jadi,bayangan garis 2x-y+10=0 karena rotasi yang berpusat di titik (-2,4) sebesar - ∏/2 adalah garis x+2y-8=0.
----> Dilatasi (Perkalian)
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu bangun geometri (pembesaran/pengecilan), tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut.
  1. Pusat dilatasi
  2. Faktor dilatasi

Pusat dilatasi terdiri atas dua, yaitu di titik O(0,0) dan di titik A(x,y). Sementara itu, faktor dilatasi dapat bersifat positif (perbesarannya searah) dan dapat pula bersibat negatif (perbesarannya berlawan arah). Faktor dilatasi disebut juga dengan faktor skala.(Herynugroho, 2009 : 190)

Dilatasi dengan Pusat di Titik A(x,y)




Jika P(a,b) didilatasi dengan faktor skala k, pusat dilatasi di A(x,y), maka bayanganya sebagai berikut.




Contoh Soal:

Tentukan bayangan segitiga ABC hasil dilatasi dengan faktor skala image001_1.png dan pusat dilatasi R(1,2). Diketahui koordinat titik A, B, dan C berturut-turut adalah (4,9), (8,8), dan (7,4) !.


Jawab :










Jadi, bayangannya adalah A’B’C’ dengan image001_1.png, image001_1.png, dan image001_1.png





Tidak ada komentar:

Poskan Komentar